A forward semi-Lagrangian method for the numerical solution of the Vlasov equation

This work deals with the numerical solution of the Vlasov equation. This equation gives a kinetic description of the evolution of a plasma, and is coupled with Poisson’s equation for the computation of the self-consistent electric field. The coupled model is non linear. A new semi-Lagrangian method, based on forward integration of the characteristics, is developed. The distribution function is updated on an eulerian grid, and the pseudo-particles located on the mesh’s nodes follow the characteristics of the equation forward for one time step, and are deposited on the 16 nearest nodes. This is an explicit way of solving the Vlasov equation on a grid of the phase space, which makes it easier to develop high order time schemes than the backward method. Key-words: Semi-Lagrangian method, Runge-Kutta, plasma simulation, Vlasov equation ∗ INRIA-Nancy-Grand Est, CALVI Project † IRMA Strasbourg et INRIA-Nancy-Grand Est, CALVI Project ‡ IRMA Strasbourg et INRIA-Nancy-Grand Est, CALVI Project Une méthode semi-Lagrangienne en avant pour la résolution numérique de l’équation de Vlasov Résumé : Ce document concerne la résolution numérique de l’équation de Vlasov qui est un modèle cinétique permettant de décrire l’évolution d’un plasma. Elle est couplée à une équation, par exemple l’équation de Poisson, permettant le calcul des champs auto-consistants. Le modèle couplé est non linéaire. Nous proposons ici une nouvelle méthode semi-Lagrangienne dans laquelle les caractéristiques sont intégrées en avant, dans le sens du temps, contrairement à la méthode semi-Lagrangienne classique qui intègre les caractéristiques en arrière. L’autre ingrédient de la méthode semi-Lagrangienne est une technique de déposition de l’information portée par les particules sur une grille. Celle-ci est basée sur un produit tensoriel de splines cubiques de sorte qu’en deux dimensions la formule de déposition implique 16 points de la grille. Grâce à cette nouvelle technique la méthode semi-Lagrangienne devient complètement explicite et peut s’appuyer sur des solveurs numériques d’équations différentielles classiques, rendant ainsi plus simple la montée en ordre en temps. La méthode est validée sur plusieurs cas tests représentatifs des problèmes réalistes basés sur ce modèle. Mots-clés : méthode semi-Lagrangienne, Runge-Kutta, simulation de plasmas, équation de Vlasov Forward semi-Lagrangian Vlasov solvers 3